法线矩阵的推导

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法线矩阵是模型（变换）矩阵的逆转置。

首先明确一点，法线矩阵是计算法线变换的矩阵，使得新的法线仍垂直于原来的平面。因为模型矩阵转化物体到世界坐标时，除了平移和均匀缩放，都可能破坏原法线的垂直性，比如将一个cube绕x轴旋转30度，原来的法线仍在y平面和z平面上，但物体表面已经不再原位置上了，这时我们需要把原法线也绕x轴旋转30度才能保持他们仍是原表面的法线。

至于为什么提到是“变换”矩阵的逆转置，原则上只有模型矩阵会破坏法线垂直性，但有时我们需要在别的空间计算，比如观察空间，view * model此时就是我们的变换矩阵M，可以把他整体当做一个模型矩阵，因为模型矩阵包含其中，可能破坏法线垂直性。

接下来我们推导法线矩阵（假设向量nn和vv都是3x1列向量）：

(1) 我们有法线向量nn和切线向量vv

n⋅v=0 n \cdot v = 0

(2) 假设变换后的法线为n’，那么

n′⋅v′=0 n' \cdot v' = 0

这里需要提及一个转换，矩阵乘法和点乘的转换，靠转置实现：

n⋅v=0=>nT∗v=0 n \cdot v = 0 => n^T * v = 0

(3) 那么(2)可以转化为矩阵乘法

n′T∗v′=0 n'^T * v' = 0

(4) 假设法线矩阵为M′M'，那么

n′=M′∗n n' = M' * n

(5) 切线通过变换矩阵MM变换得到v′v'

v′=M∗v v' = M * v

(6) 将上面的等式代入(3)，全部转化为矩阵乘法（后面不再写符号）

n′T∗v′=(M′∗n)T∗(M∗v)=0 n'^T * v' = (M' * n)^T * (M * v) = 0

把它完全展开：

nTM′TMv=0 n^TM'^TMv = 0

因为

nTv=0 n^Tv = 0

所以

M′TM=λI M'^TM = \lambda I

我们最终只需要垂直关系，不受比例因子影响，将λ\lambda代入1得

M′T=M−1=>M′=(M−1)T M'^T = M^{-1} => M' = (M^{-1})^T

所以我们的法线矩阵就是变换矩阵逆的转置

M′=(M−1)T M' = (M^{-1})^T

在OpenGL中，我们常常在着色器中这样计算法线矩阵： 

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Normal = mat3(transpose(inverse(model))) * aNormal;