PID控制算法

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PID控制算法从理解到应用。

参考教学视频：
通俗易懂的 PID 控制算法讲解

PID 控制算法（比例-积分-微分）

PID 控制器的输出 u(t) 是比例（P）、积分（I）、微分（D）三项作用的线性叠加，其连续形式的标准公式为：

u(t)=Kp⋅e(t)+Ki⋅∫e(t) dt+Kd⋅de(t)dtu(t) = K_p \cdot e(t) + K_i \cdot \int e(t) \, dt + K_d \cdot \frac{de(t)}{dt}

其中：

  • e(t) 为误差信号，定义为：目标值 (Setpoint) - 当前测量值 (Process Variable)。
  • u(t) 为控制器输出的控制量（如电机转速、阀门开度）。

以无人机悬停为例解读公式

假设我们想让无人机从地面垂直上升到 100 米高度并悬停。

开环控制（非 PID）的局限性

在没有干扰的完美模型中，我们可以根据物理公式算出所需速度和上升时间，让无人机开足马力飞行固定时间后停止。这就是开环控制——输出不影响输入。

【修正】 现实存在空气阻力、气流扰动、电池电压波动等干扰，开环控制无法修正这些偏差，误差会不断累积。PID 算法的作用恰恰相反：利用输出（当前高度）与目标（100米）的偏差来反向调整输入（电机升力），形成闭环反馈，逐步消除误差。

比例控制（P）- 快速响应

假设电机升力与误差（剩余距离）成正比，则比例控制项为：

FP=Kp⋅e(t)F_P = K_p \cdot e(t)
  • 作用：误差越大，升力（或反向推力）越大，响应迅速。
  • 局限：
    • Kp 过大，会在目标值附近剧烈震荡（如同刹车过猛导致车身晃动）。
    • 仅靠 P 控制无法消除稳态误差（例如当无人机升力恰好等于重力时，加速度为 0，但可能停在 98 米处，无法达到 100 米）。

微分控制（D）- 预测未来，抑制震荡

微分项相当于“预见性刹车”，它根据误差变化的速率来提前调整输出：

FD=Kd⋅de(t)dtF_D = K_d \cdot \frac{de(t)}{dt}
  • 作用：当误差迅速减小时（即快速接近目标），D 项产生反向力，防止冲过头（超调）。
  • 效果：合适的 Kd 能大幅削弱震荡，让无人机“缓升缓降”。
  • 注意：Kd 过小不起作用，过大则会导致过度制动（无人机在目标值前很远就开始减速，导致响应迟钝）。且 D 项对测量噪声极度敏感。

积分控制（I）- 消除遗留误差

当无人机悬停在 98 米或者 102 米（误差为 ±2 米）且升力等于重力时（没有加速度了），P 项输出较小，无法突破静摩擦或风阻，此时需要积分项“算旧账”：

FI=Ki⋅∫e(t) dtF_I = K_i \cdot \int e(t) \, dt
  • 作用：累积过去的微小误差，持续增加（或减少）升力，直到彻底消除静差，将无人机推到 100 米。
  • 风险：Ki 过大或积分饱和（Windup）会导致系统大幅震荡。

离散化与 C 语言实现（位置式 PID）

由于计算机无法处理连续积分和微分，需将其离散化（令采样周期为 TT）：

u(k)=Kp⋅e(k)+Ki⋅∑i=0ke(i)T+Kd⋅e(k)−e(k−1)Tu(k) = K_p \cdot e(k) + K_i \cdot \sum_{i=0}^{k} e(i)T + K_d \cdot \frac{e(k) - e(k-1)}{T}

【修正】 实际编程中，常将 KiK_i 和 KdK_d 合并采样周期，简化为：

u(k)=Kp⋅e(k)+Ki⋅∑e(k)+Kd⋅(e(k)−e(k−1))u(k) = K_p \cdot e(k) + K_i \cdot \sum e(k) + K_d \cdot (e(k) - e(k-1)) 
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typedef struct {
    float Kp, Ki, Kd;       // PID 参数
    float setpoint;         // 目标值（如 100.0 米）
    float integral;         // 积分累积和
    float prev_error;       // 上次误差（用于微分）
    float out_max, out_min; // 输出限幅（防止积分饱和）
} PID_TypeDef;

float PID_Update(PID_TypeDef *pid, float measurement) {
    float error = pid->setpoint - measurement;  // 计算偏差
    
    // 1. 比例项
    float P_out = pid->Kp * error;
    
    // 2. 积分项（带积分限幅防止饱和）
    pid->integral += error;
    // 限幅处理（防止积分饱和）
    if (pid->integral > pid->out_max) pid->integral = pid->out_max;
    if (pid->integral < pid->out_min) pid->integral = pid->out_min;
    float I_out = pid->Ki * pid->integral;
    
    // 3. 微分项
    float D_out = pid->Kd * (error - pid->prev_error);
    
    // 4. 计算总输出
    float output = P_out + I_out + D_out;
    
    // 5. 输出限幅
    if (output > pid->out_max) output = pid->out_max;
    if (output < pid->out_min) output = pid->out_min;
    
    // 6. 保存本次误差供下次微分使用
    pid->prev_error = error;
    
    return output;
}

除位置PID之外还有很多种PID算法，模糊PID，智能PID等等，如果有应用场景再看看相关知识吧。